Question

【題目】已知函數f（x）= 圖象過點（﹣1，2），且在該點處的切線與直線x﹣5y+1=0垂直．
（1）求實數b，c的值；
（2）對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？

Answer 1

【答案】
（1）解：當x＜1時，f（x）=﹣x3+x2+bx+c，則f′（x）=﹣3x2+2x+b，

由題意知 ，解得b=c=0

（2）解：假設曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，

使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，

則P，Q只能在y軸的兩側，不妨設P（t，f（t））（t＞0），

則q（﹣t，t3+t2），且t≠1．

因為△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，所以 =0，

即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0，（1）

是否存在點P，Q等價于方程（1）是否有解，

若0＜t＜1，則f（t）=﹣t3+t2，代入方程（1）得：t4﹣t2+1=0，此方程無實數解．

若t＞1，則f（t）=alnt，代入方程（1）得到 =（t+1）lnt，

設h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′（x）=lnx+ ＞0在[1，+∞）上恒成立，

所以h（x）在[1，+∞）上單調遞增，從而h（x）≥h（1）=0，

所以當a＞0時，方程 =（t+1）lnt有解，即方程（1）有解，

所以對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，

使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上

【解析】（1）求得x＜1時f（x）的導數，可得切線的斜率，由f（﹣1）=2，解方程可得b，c的值；（2）假設曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，則P，Q只能在y軸的兩側，不妨設P（t，f（t））（t＞0），則q（﹣t，t3+t2），且t≠1．對t討論，t＞1，0＜t＜1，通過構造函數，求得單調性，考慮方程﹣t2+f（t）（t3+t2）=0有解，即可判斷存在性．