Question

（本小題滿分14分） 
設是定義在上的偶函數，又的圖象與函數的圖象關于直線對稱，且當時，．
（１）求的表達式；
（２）是否存在正實數，使的圖象最低點在直線上？若存在，求出；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）
（2）使的圖象最低點在直線上.

（1）當時，
上的關于直線對稱的點為，   …………………2分
此時，代入，
得                 ………………………………5分
在上是偶函數，時， 
即                   ……………………………6分
（2）命題轉化為：是否存在正實數，使的最小值是.         
在上是偶函數，只要考慮即可. ………………………………8分
，令.       ………………………………9分
（i）當時，，且，，
由此可知，，         
解得，矛盾.                      ………………………………11分
（ii）當時，，此時，是[0，1]上減函數，
所以           ………………………………13分
綜上可知，使的圖象最低點在直線上.   …………………14分