Question

已知函數f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)，且f（2）＜f（3）
（1）求k的值；
（2）試判斷是否存在正數p，使函數g（x）=1-p•f（x）+（2p-1）x在區間[-1，2]上的值域為[-4，

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]．若存在，求出這個p的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數形式知，此為一冪函數，又f（2）＜f（3），可知函數在[2，3]是增函數，由分析知，函數f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)是一增函數，故指數為正，即-k²+k+2＞0，再結合k為整數求解即可
（2）由（1）知函數解析式為f（x）=x²，將其代入函數g（x）知其也為一二次函數，下研究g（x）在區間[-1，2]上的最值，結合值域為[-4，

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]建立關于參數p的方程求參數即可．若能求出，則說明存在，否則，不存在．

解答：解：（1）已知函數f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)，
∵f（2）＜f（3），∴-k²+k+2＞0，即k²-k-2＜0，
∵k∈Z，∴k=0或1
（2）存在p=2，使得結論成立，證明如下：
由（1）知函數解析式為f（x）=x²，
g(x)=1-p•x2+(2p-1)x=-p(x-

2p-1

2p

)2+

4p2+1

4p

①當

2p-1

2p

∈[-1，2]，即p∈[

1

4

，+∞)時，

4p2+1

4p

=

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，p=2，g(-1)=-4，g(2)=-1
②當

2p-1

2p

∈(2，+∞)時，解得-

1

2

＜p＜0，
∵p＞0，∴這樣的p不存在．
③當

2p-1

2p

∈(-∞，-1)，即p∈(0，

1

4

)時，
g(-1)=

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，g(2)=-4，解之得，這樣的p不存在．
綜①②③得，p=2．
即當p=2時，結論成立．

點評：本題考點是二次函數的性質，考查利用二次函數的性質判斷出函數的最值，利用最值建立方程求參數，本題是一存在性問題，考查思維的嚴密性綜合性較強，分類時要做到不重不漏，嚴謹做題．