Question

如圖，F是橢圓的一個焦點，A、B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為，點C在x軸上，BC⊥BF，由B、C、F三點確定的圓M恰好與直線相切．
（I）求橢圓的方程；
（II）過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，若在x軸上存在一點N（x，0），使得直線NP與直線NQ關于x軸對稱，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設點F的坐標為（-c，0），根據離心率，可知點B的坐標為（0，c），進而可求直線BF的斜率，根據BC⊥BF，進而求得直線BC的斜率．進而求得點C的坐標，可知圓M的圓心和半徑，又根據圓M恰好與直線相切．根據圓心到直線的距離為2c，進而可求得c，根據離心率可求得b，根據b²=a²-c²求得a，最后橢圓的標準方程可得．
（II）由題意可設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）根據直線NP與直線NQ關于x軸對稱，可知k_NP=-k_NQ，根據點P，Q表示x，根據直線l與橢圓相交，聯立方程，根據韋達定理，可分別求得x₁+x₂和x₁x₂，進而可求得x
解答：解：（I）由題意可知F（-c，0）
∵，∴b=c，即B（0，，∴
又∵BC⊥BF，∴，
∴C（3c，0），∴圓M的圓心坐標為（c，0），半徑為2c由直線x+y+3=0與圓M相切可得=2c，
∴c=1，∴橢圓的方程為．

（II）由題意可設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵直線NP與直線NQ關于x軸對稱，
∴k_NP=-k_NQ，即
∴，∴
∵，∴3x²+4k²（x+1）²=12
∴（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴，
∴．
點評：本題主要考查橢圓的標準方程的問題．要能較好的解決橢圓問題，必須熟練把握好橢圓方程中的離心率、長軸、短軸、標準線等性質．