Question

本題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）已知矩陣M=，，且，
（Ⅰ）求實數a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直線y=3x在矩陣M所對應的線性變換下的像的方程．
（2）在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為（t為參數）．在極坐標系（與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函數f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：選作題1：（Ⅰ）由矩陣MN的表達式，把他們相乘使左邊等于右邊既可求解實數a，b，c，d的值．
（Ⅱ）矩陣M所對應的線性變換將直線變成直線，可選直線y=3x上的兩點做矩陣M所對應的線性變換下的像，即可確定原直線的像．
選做題2：（Ⅰ）由極坐標轉化為直線坐標方程．
（Ⅱ）將直線的參數方程代入圓的直角坐標系，根據根與系數關系求出兩實根的關系式，再有t的幾何意義求解．
選做題3：（Ⅰ）首先把函數的參數表達式≤3，解不等式求出a的值．
（Ⅱ）由上題解得的當a=2時，f（x）=|x-2|，可設函數g（x）=f（x）+f（x+5），求出g（x）的函數表達式使其≥m對一切實數x恒成立．求解M的范圍．
解答：（1）選修1：解：（Ⅰ）由題設得，解得；
（Ⅱ）因為矩陣M所對應的線性變換將直線變成直線（或點），所以可取直線y=3x上的兩（0，0），（1，3），
由，，
得點（0，0），（1，3）在矩陣M所對應的變換下的線的像是（0，0），（-2，2），
從而直線y=3x在矩陣M所對應的線性變換下的像的方程為y=-x．
（2）選修2：解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x²+y²-2y=0，即=5．
（Ⅱ）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得=5，
即t²-3t+4=0，
由于-4×4=2＞0，
故可設t₁，t₂是上述方程的兩實根，
所以，
又直線l過點P（3，），
故由上式及t的幾何意義得：
|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3．
（3）選修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
又已知不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，
所以，解得a=2．
（Ⅱ）當a=2時，f（x）=|x-2|，
設g（x）=f（x）+f（x+5），
于是g（x）=|x-2|+|x+3|=，
所以，當x＜-3時，g（x）＞5；
當-3≤x≤2時，g（x）＞5；
當x＞2時，g（x）＞5．
點評：選作題1主要考查矩陣與變換等基礎知識，考查運算求解能力．計算量小屬于較容易的題．
選作題2主要考查坐標系與參數方程的關系，考查直線的參數方程、圓的極坐標方程、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力．較復雜．
選修3：本小題涉及不等式，主要考查絕對值的意義、絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力．較復雜．