Question

某企業生產一種產品時，固定成本為5000元，而每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數為R（x）=5x-

1

2

x²（萬元）（0≤x≤5），其中x是產品售出的數量（單位：百臺）．
（1）把利潤y表示為年產量x的函數；
（2）年產量多少時，企業所得的利潤最大？
（3）年產量多少時，企業才不虧本？

Answer 1

分析：（1）利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R（x）與其總成本C（x）之差，而總成本C（x）=固定成本（5000）+生產消耗成本（每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元）；（2）求利潤y表示為年產量x的函數的最大值；（3）企業才不虧本是指利潤非負，即解不等式y≥0，求得x的值．

解答：解：（1）由題意，當x≤5時，產品能全部售出，
當x＞5時，只能銷售500臺，
所以y=

5x-0.5x2-(0.5+0.25x)     0≤x≤5 (5×5-0.5×52)-(0.5+0.25x)  x＞5

=

4.75x-0.5x2-0.5    (0≤x≤5) 12-0.25x               (x＞5)

（2）在0≤x≤5時，y=-0.5x²+4.75x-0.5，
當x=-

b

2a

=4.75（百臺）時，y_max=10.78125（萬元），
當x＞5（百臺）時，
y＜12-0.25×5=10.75（萬元），
所以當生產475臺時，利潤最大．
（3）要使企業不虧本，即要求0≤x≤5，-0.5x²+4.75x-0.5≥0或x＞5，12-0.25x≥0
解得5≥x≥4.75-

21.5625

≈0.1（百臺）或5＜x≤48（百臺）時，
即企業年產量在10臺到4800臺之間時，企業不虧本．

點評：考查根據實際問題抽象函數模型的能力，并能根據模型的解決，指導實際生活中的決策問題，在解模的過程中應用了函數的單調性求最值，和借助于三角函數的有界性放縮不等式，屬中檔題．