Question

已知函數f（x）=log_a（a-a^x）且a＞1，
（1）求函數的定義域和值域；
（2）討論f（x）在其定義域上的單調性；
（3）證明函數圖象關于y=x對稱．

Answer 1

分析：（1）由真數大于零來求定義域，確定值域；
（2）用復合函數的單調性判斷；
（3）研究其反函數就是本身．

解答：解析：（1）a-a^x＞0
又∵a＞1，
∴x＜1
故其定義域為（-∞，1），值域為（-∞，1）
（2）設1＞x₂＞x₁
∵a＞1，∴ax2＞ax1，于是a-ax2＜a-ax1
則log_a（a-ax2）＜log_a（a-ax1）
即f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在定義域（-∞，1）上是減函數
（3）證明：令y=log_a（a-a^x）（x＜1），則a-a^x=a^y，x=log_a（a-a^y）
∴f^-1（x）=log_a（a-a^x）（x＜1）
故f（x）的反函數是其自身，得函數f（x）=log_a（a-a^x）（x＜1=圖象關于y=x對稱．

點評：本題主要考查函數基本性質，定義域，值域，單調性和對稱性．