Question

（本題滿分18分）第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分8分，第（3）小題滿分6分。

定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。

若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；

寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點、關于直線對稱，求實數的取值范圍？

如圖：直線與兩個“相似橢圓”和分別交于點和點，證明：

Answer 1

解：（1）橢圓與相似。-------------------2分

因為橢圓的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為-------------------4分

（2）橢圓的方程為：-------------------6分

設，點，中點為，

則，所以-------------------8分

則                    -------------------9分

因為中點在直線上，所以有，-------------------10分

即直線的方程為：，

由題意可知，直線與橢圓有兩個不同的交點，

即方程有兩個不同的實數解，

所以，即-------------------12分

（3）證明：

①直線與軸垂直時，易得線段AB與CD的中點重合，所以；-------------------14分

②直線不與軸垂直時，設直線的方程為：，，

線段AB的中點，

-------------------15分

線段AB的中點為-------------------16分

同理可得線段CD的中點為，-------------------17分

即線段AB與CD的中點重合，所以-------------------18分