Question

（2012•淮北二模）已知函數(shù)f（x）=

1

x2

（x≠0），各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中a₁=1，

1

a 2 n+1

=f（a_n）+4（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在數(shù)列{b_n}中，對(duì)任意的正整數(shù)n，b_n•

(3n-1) a 2 n +n

a 2 n

=1 都成立，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和試比較S_n與

1

2

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知

1

an+12

=

1

an2

+4，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求

1

an2

，結(jié)合a_n＞0，可求
（Ⅱ）由bn=

an2

(3n-1)an2+ n an2

=

1

(3n-1)+n(4n-3)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和可求S_n，即可判斷

解答：解：（Ⅰ）∵

1

a 2 n+1

=f（a_n）=

1

an2

+4
∴

1

an+12

=

1

an2

+4
∴

1

an+12

-

1

an2

=4
∴{

1

an2

}是以1為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3
∴an2=

1

4n-3

∵a_n＞0，
∴an=

1

4n-3

…（6分）
（Ⅱ）bn=

an2

(3n-1)an2+ n an2

=

1

(3n-1)+n(4n-3)

=

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Sn=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題目主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)公式，及數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用