Question

如圖，已知幾何體ABC-DEF中，△ABC及△DEF都是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABEF為矩形，且CD=AF+2，CD//AF，O為AB中點.

（1）求證：AB⊥平面DCO

（2）若M為CD中點，AF=x，則當x取何值時，使AM與平面ABEF所成角為45°？

試求相應的x值的.

（3）求該幾何體在(2)的條件下的體積.

Answer 1

解：(1)因為△ABC為等邊三角形，O為AB中點，故AB⊥CO，

又CD//AF，在矩形ABEF中AB⊥AF，所以AB⊥CD，

由CD∩CO=C，證得AB⊥平面DCO

   （2）設I為EF中點，連接OI，依題意，四邊形

   OIDC為等腰梯形；

在梯形OIDC中過O作OH⊥CD垂足為H，過M作

MG//OG，則MG⊥OI，由（1）可知：面OIDC⊥面ABEF

   因為OIDC∩面ABEF=OI，所以MG⊥面ABEF，

   

連接AC，則∠MAG等于直線AM與平面ABEF所成角

因為在正三角形ABC中，AO=1,CO=，在等腰梯形OIDC中CH=1，OG=0.5x;

所以在直角三角形OCH中，OH=，即MG=；

在直角三角形AOG z中，AG=

由tan∠MAG=

（3）連接AH、BH，由（1）（2）可知，

該幾何體的體積等于兩個以三角形ABH為底面，

CH為高的三棱錐的體積與一個以三角形ABH為底面，AF為高的三棱柱的體積之和.

解二：建坐標系（略）