Question

（本小題滿分14分）

如圖，橢圓的頂點為焦點為

 S_□ = 2S_□.

 

 

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設直線過P(1,1),且與橢圓相交于A，B兩點，當P是AB的中點時，求直線的方程．

 (Ⅲ)設n為過原點的直線，是與n垂直相交于P點、與

橢圓相交于A,B兩點的直線，,是否存在上述直線使以AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由知，            ①

由S_□ = 2S_□知，               ②

又，                                ③

由①，②，③解得，故橢圓C的方程為.    …………4分

（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，

 則，，兩式相減得：． 

∵P是AB的中點，∴ 可得直線AB的斜率為，                       

∴直線的方程為．                             …………7分

當直線的斜率不存在時，將x=1代入橢圓方程并解得，，

這時AB的中點為，∴x=1不符合題設要求．

綜上，直線的方程為．                        …………9分                               

（Ⅲ）設兩點的坐標分別為，假設滿足題設的直線存在，

（i）當不垂直于軸時，設的方程為，由與垂直相交于點且得，即，

又∵以AB為直徑的圓過原點，∴OA⊥OB, ∴.

將代入橢圓方程，得，

由求根公式可得，           ④

.                           ⑤

，

將④，⑤代入上式并化簡得

，⑥

將代入⑥并化簡得，矛盾.

即此時直線不存在.                                        …………12分

（ii）當垂直于軸時，滿足的直線的方程為或，

當時，的坐標分別為，

，，

當時，同理可得

即此時直線也不存在.                                      …………13分

綜上可知，使以AB為直徑的圓過原點的直線不存在.           …………14分

【解析】略