Question

設點P（x，y）（y≥0）為平面直角坐標系xOy中的一個動點（其中O為坐標原點），點P到定點M(0，

1

2

)的距離比點P到x軸的距離大

1

2

．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx+1與點P的軌跡相交于A、B兩點，且|AB|=2

6

，求k的值．
（3）設點P的軌跡是曲線C，點Q（1，y₀）是曲線C上的一點，求以Q為切點的曲線C 的切線方程．

Answer 1

分析：（1）過P作x軸的垂線且垂足為N，由題意可知|PM|-|PN|=

1

2

．由y≥0，|PN|=y，知

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

，由此能求出點P的軌跡方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=kx+1 x2=2y

得x²-2kx-2=0，所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4k2+8

=2

6

，由此能求出k的值．
（3）因為Q（1，y₀）是曲線C上一點，所以x₀²=2y₀，y0=

1

2

，所以切點為(1，

1

2

)，由y=

1

2

x2求導得y'=x，由此能求出以Q為切點的曲線C 的切線方程．

解答：解：（1）過P作x軸的垂線且垂足為N，
由題意可知|PM|-|PN|=

1

2

，
而y≥0，∴|PN|=y，
∴

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

，
化簡得x²=2y（y≥0）為所求的方程．…（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=kx+1 x2=2y

得x²-2kx-2=0，
∴x₁+x₂=2k，
x₁x₂=-2|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4k2+8

=2

6

∴k⁴+3k²-4=0而k²≥0，
∴k²=1，
∴k=±1．…（8分）
（3）因為Q（1，y₀）是曲線C上一點，
∴x₀²=2y₀，
∴y0=

1

2

，
∴切點為(1，

1

2

)，
由y=

1

2

x2求導得y'=x，
∴當x=1時k=1，
則直線方程為y-

1

2

=(x-1)，
即2x-2y-1=0是所求切線方程．…（14分）

點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．