Question

（本小題14分）已知函數 
（Ⅰ）若且函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）求證：，…….

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解函數的極值，和不等式的恒成立問題，以及證明不等式。
解：（Ⅰ）因為， x0，則，
求解導數，判定函數單調性，得到極值。
因為函數在區間（其中）上存在極值，
得到參數k的范圍。
（Ⅱ）不等式，又，則 ，構造新函數,則 
令，則，
分析單調性得到證明。
（Ⅲ）由（2）知：當時，恒成立，即，，
令 ，則；可以證明。

解：（Ⅰ）因為， x0，則，
當時，；當時，.
所以在（0，1）上單調遞增；在上單調遞減，
所以函數在處取得極大值；……….2分
因為函數在區間（其中）上存在極值，
所以 解得；……….4分
（Ⅱ）不等式，又，則 ，,則；……….6分
令，則，
，在上單調遞增，，
從而， 故在上也單調遞增， 所以，
所以.  ；……….8分
（Ⅲ）由（2）知：當時，恒成立，即，，
令 ，則；……….10分
所以 ，，……
,
n個不等式相加得
即……….14分