Question

已知a＞2，求證：log_（a-1）a＞log_a（a+1）

Answer 1

分析：（法一）利用作差法：只要證明log(a-1)a-loga(a+1)=

1

loga(a-1)

-loga(a+1)=

1-(loga(a-1))•(loga(a+1))

loga(a-1)

＞0即可
（法二）作商法：只要證明

log(a-1)a

loga(a+1)

=

1 loga(a-1)

loga(a-1)

=

1

(loga(a-1))•(loga(a+1))

＞1即可

解答：證明（法一）：∵log(a-1)a-loga(a+1)=

1

loga(a-1)

-loga(a+1)
=

1-(loga(a-1))•(loga(a+1))

loga(a-1)

．
因為a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，
所以，log_a（a-1）•log_a（a+1）≤[

loga(a-1)+loga(a+1)

2

]2
=

[loga(a2-1)]2

4

＜

[logaa2]2

4

=1
所以，log_（a-1）a-log_a（a+1）＞0，命題得證．
證明2：因為a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，
所以，

log(a-1)a

loga(a+1)

=

1 loga(a-1)

loga(a-1)

=

1

(loga(a-1))•(loga(a+1))

由法1可知：log_a（a-1）•log_a（a+1）≤[

loga(a-1)+loga(a+1)

2

]2
=

[loga(a2-1)]2

4

＜

[logaa2]2

4

=1
∴

1

loga(a-1)•loga(a+1)

＞1．
故命題得證

點評：本題主要考查了不等式的證明方法的常用方法：作差證明差大于0，作商證明商大于1．