Question

橢圓C：的離心率為e=，點A是橢圓上的一點，且點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）為橢圓C上一動點，直線L：mx+4ny-4=0與圓C′：x²+y²=4相交于A、B兩點，求三角形OAB面積的最大值及此時直線L的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可求得a=2，再利用其離心率e===可求得b，從而可求得橢圓C的方程；
（2）設圓心O到直線L的距離為d，可求得d=，結合n∈（0，1]，可求得d的范圍；利用基本不等式可求得S_△OAB最大值為2，繼而可得n，m的值，從而可求得直線L的方程．
解答：解：（1）由橢圓定義知2a=4，
∴a=2，又e===得b=1，
∴所求橢圓方程為+y²=1．
（2）設圓心O到直線L的距離為d，則d=，又有+n²=1，
所以d==，又n∈（0，1]，
∴d∈[1，2），
S_△OAB=|AB|•d=•d=≤=2（當d²=4-d²即d=時S_△OAB最大），
∴S_△OAB最大值為2，
d=⇒=，n＞0，
∴n=，
m²=4-4n²=，又m＞0，
∴m=．
所以直線L的方程為x+y-12=0，即x+y-3=0．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，突出考查基本不等式的應用，考查分析、運算的能力，屬于難題．