Question

若直線l同時(shí)平分一個(gè)三角形的周長和面積，則稱直線l為該三角形的“平分線”，已知△ABC三邊之長分別為3，4，5，則△ABC的“平分線”的條數(shù)為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．應(yīng)分情況討論：（1）若直線過△ABC的某個(gè)頂點(diǎn)；（2）若直線交△ABC的某兩條邊．

解答：解：∵△ABC三邊之長分別為3，4，5，
∴△ABC為直角三角形，設(shè)AB=3，AC=4，BC=5．
（1）若直線過△ABC的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖，
假設(shè)直線過點(diǎn)A．如果直線平分△ABC的面積，
則有BN=NC，此時(shí)，AC＞AB，
∴周長相等不可能．同理直線過B、C也不存在；
∴周長相等不可能．同理直線過B、C也不存在；
（2）若直線交AB、BC于點(diǎn)M、N．如圖，
設(shè)BN=x，則BM=6-x，作MD⊥BC，
由Rt△MBD∽R(shí)t△ABC，可得MD=

4(6-x)

5

，
根據(jù)S_△MBN=

1

2

MD•BN=

1

2

S_△ABC，
即2x²-12x+15=0，
得x=

6+ 6

2

=3+

6

2

得BN=3+

6

2

，BM=3-

6

2

，
即這樣的直線存在，且只有一條，
綜上，同時(shí)平分這個(gè)三角形周長和面積的直線有1條．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的性質(zhì)，正確理解△ABC的“平分線”的定義是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大，不太容易理解．