Question

（本小題滿分14分）

已知函數．

（Ⅰ）若為的極值點，求實數的值；

（Ⅱ）若在上為增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若時，方程有實根，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）

∵為的極值點，∴

∴且

∴.

又當時，，從而為的極值點成立。

                                                  --------4分

（Ⅱ）因為在上為增函數，

所以在上恒成立.    --------6分

若，則，

∴在上為增函數不成立；

若，由對恒成立知。

所以對上恒成立。

令，其對稱軸為，

因為，所以，從而在上為增函數。

所以只要即可，即

所以

又因為，所以．                    --------9分

（Ⅲ）若時，方程 

可得

即在上有解

即求函數的值域．

        令

由         ∵

∴當時，，從而在(0,1)上為增函數；

當時，，從而在(1，+∞)上為減函數。

∴，而可以無窮小。    ∴的取值范圍為. ------14分