Question

（本小題滿分分）
若函數在定義域內某區間上是增函數，而在上是減函數，
則稱在上是“弱增函數”
（1）請分別判斷=，在是否是“弱增函數”，
并簡要說明理由;
（2）證明函數(是常數且)在上是“弱增函數”．

Answer 1

（1）=在上是“弱增函數”； 在上不是“弱增函數”（2）易證在上是增函數，再利用定義證明在上是減函數

解析試題分析：（1）=在上是“弱增函數”；
在上不是“弱增函數”；                           ……2分
理由如下：
顯然，=在上是增函數，在上是減函數，
∴=在上是“弱增函數”。                             ……4分
∵是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，
∴在上是增函數，
而在上是增函數，
∴在上不是“弱增函數”。                        ……6分
（2）證明：∵函數是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，
∴函數(是常數且)在上是增函數；        ……8分
令，則，
對任意，得，，                      ……9分
∵
，                       ……12分
∴，從而在上是減函數，                ……13分
∴函數(是常數且)在上是“弱增函數”.  ……14分
考點：本小題主要考查新定義下函數的單調性的研究和證明，考查學生的推理能力和論證能力.
點評：判斷函數的單調性一是可以借助初等函數的單調性，再就是利用函數的單調性的定義來證明，利用定義證明函數的單調性時，要化到最簡.