Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在正方形BCC₁B₁的邊上按逆針?lè)较虬慈缦乱?guī)律運(yùn)動(dòng)：設(shè)第n次運(yùn)動(dòng)的路程為a_n，且，第n次運(yùn)動(dòng)后P點(diǎn)所在位置為P_n，回到B點(diǎn)后不再運(yùn)動(dòng)．
（1）求二面角P_i-AC-B的余弦值；
（2）是否存在正整數(shù)i、j，使得直線(xiàn)P_iP_j與平面ACD₁平行？若存在，找出所有符合條件的P_iP_j，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由求得當(dāng)n=1、2、3、4、5、6、7、8時(shí)的a_n的值，找出對(duì)應(yīng)的P_i（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的位置，然后根據(jù)P_i的不同位置求解二面角P_i-AC-B的余弦值；
（2）由線(xiàn)面平行的判定定理，分析P_i（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的8個(gè)點(diǎn)中有哪些點(diǎn)的連線(xiàn)能夠與平面ACD₁內(nèi)的線(xiàn)平行，找出與平面ACD₁內(nèi)平行的線(xiàn)即可．
解答：解：（1）由，知：a₁=a₅=2，a₂=a₆=1，a₃=a₇=2，a₄=a₈=3．
當(dāng)i=1、2、8時(shí)，點(diǎn)P₁，P₂，P₈位于線(xiàn)段BC上，此時(shí)二面角P_i-AC-B的平面角為0°，所以，二面角的余弦值等于1；
當(dāng)i=3、4時(shí)，P₃、P₄位于平面ACC₁上，此時(shí)二面角P_i-AC-B的大小為90°，所以，二面角的余弦值等于0；
然后以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD₁所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
當(dāng)i=5或6時(shí)，點(diǎn)P₅，P₆位于線(xiàn)段C₁B₁上，此時(shí)P₅（2，4，4），P₆（3，4，4），A（4，0，0），C（0，4，0）
所以，，
設(shè)平面AP₅C的法向量為，平面AP₆C的法向量為，
由⇒，取z₁=1，得x₁=-2，y₁=-2，
所以
由⇒，取z₂=3，得x₂=-4，y₂=-4，
所以，
由題意知平面ABC的一個(gè)法向量為，
再設(shè)二面角P₅-AC-B=α，二面角P₆-AC-B=β，
所以，
當(dāng)i=7時(shí)，P₇在線(xiàn)段BB₁上，取AC中點(diǎn)E，連接BE、P₇E，則∠P₇EB為二面角P₇-AC-B的平面角，
在直角三角形P₇BE中，，，所以，所以．
（2）存在正整數(shù)i=2，j=3；i=4，j=8；i=6，j=7使得直線(xiàn)P_iP_j與平面ACD₁平行，
∵P₂P₃，P₄P₈，P₆P₇均不在平面ACD₁內(nèi)，且都平行于AD₁，而AD₁?面ACD₁，
根據(jù)線(xiàn)面平行的判定可得三條直線(xiàn)均平行于平面ACD₁．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二面角的平面角的求法，考查了平面與平面垂直的性質(zhì)及直線(xiàn)與平面平行的判定，考查了分析問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，是中檔題．