Question

已知橢圓C：，（a＞b＞0）的兩焦點分別為F₁、F₂，，離心率．過直線l：上任意一點M，引橢圓C的兩條切線，切點為A、B．
（1）在圓中有如下結論：“過圓x²+y²=r²上一點P（x，y）處的切線方程為：xx+yy=r²”．由上述結論類比得到：“過橢圓（a＞b＞0），上一點P（x，y）處的切線方程”（只寫類比結論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結論證明直線AB恒過定點（）；
（3）當點M的縱坐標為1時，求△ABM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由過圓上一點的切線方程，我們不難類比推斷出過橢圓上一點的切線方程．
（2）由（1）的結論，我們可以設出A，B兩點的坐標，列出切線方程，又由M為直線l：上任意一點，故可知M為兩條切線與l的公共交點，消參后即得答案．
（3）由（2）中結論，我們可得M點的坐標，根據l的方程我們可以計算出AB邊上的高，再由弦長公式計算出AB的長度，代入三角形面積公式即可．
解答：解：（1）類比過圓上一點的切線方程，可合情推理：
過橢圓（a＞b＞0），上一點P（x，y）處的切線方程為．
（2）由，離心率
得，a=3∴b=1
∴橢圓C的方程為：
l的方程為：
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M的縱坐標為t，即，
由（1）的結論
∴MA的方程為
又其過點，
∴
同理有
∴點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直線上；
當，y=0時，方程恒成立，
∴直線AB過定點
（3）t=1∴消去y得，
∴，x₁x₂=0，


∴．
點評：本題綜合的考查了橢圓與直線的相關知識點，本題的切入點是由類比思想探究出的過橢圓上一點的切線方程，運用設而不求的方法探究出切點A，B的坐標滿足的共同性質，從而得到兩切點確定的直線系的方程，并由直線系方程得到結論直線過定點；已知三角形一頂點坐標和對邊所在的直線，我們可以代入點到直線距離公式求出該邊上三角形的高，再由邊長不難得到面積．