Question

已知命題P：?x∈R，使x²-x+a=0；命題Q：函數(shù)y=

ax-1

ax2+ax+1

的定義域?yàn)镽．
（1）若命題P為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題Q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）如果P∧Q為假，P∨Q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若命題P為真，說明x²-x+a=0有根，故令△≥0，解不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題Q為真，說明ax²+ax+1＞0恒成立，分a=0與a≠0兩種情況進(jìn)行討論求解實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）如果P∧Q為假，P∨Q為真，說明命題P，Q一真一假，需要分兩類求解分別為①P真Q假，②P假Q(mào)真

解答：解：（1）由題意，△≥0∴a≤

1

4

（2）由題意ax²+ax+1＞0恒成立
①a=0，成立；
②a≠0，

a=0 △＜0

，得到0＜a＜4
綜上，0≤a＜4
（3）由題意，命題P，Q一真一假
①P真Q假：

a≤ 1 4 a＜0或a≥4

，得到a＜0
②P假Q(mào)真：

a＞ 1 4 0≤a＜4

，得到

1

4

＜a＜4
綜上，a∈(-∞，0)∪(

1

4

，4)

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件對(duì)命題真假進(jìn)行正確判斷，以及對(duì)兩個(gè)命題的等價(jià)條件的轉(zhuǎn)化．正確轉(zhuǎn)化題設(shè)條件是快捷正確解題的保證，本題易因?yàn)榭紤]不全導(dǎo)致錯(cuò)誤，如第一問中，忘記考慮a=0情況．