Question

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x³-4x+3．有下列命題：
①；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x³+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數為

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

B
分析：①因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，所以；又因為對于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以
f（）可化為f（），因為都在[0，1]上，所以可以比較大小，通過計算可得．故可知①正確．
②當x∈[-1，0]時，則-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）³-4（-x）+3=-x³+4x+3≠x³+4x+3．故可知②不正確．
③因為f^′（x）=3x²-4，所以當x∈[0，1]時，可知f（x）在x∈[0，1]上單調遞減．又因為f（0）=3，f（1）=0，所以
f（x）=0在x∈[0，1]時只有一個根1；同時，因為f（x）是偶函數，所以f（x）在x∈[-1，0]上亦有且只有一個根-1，又因為對于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（1）=f（3）=f（5）=…
故f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標為：1，3，5，…．從而可判斷出③正確．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]上單調遞減，且0≤f（x）≤3，則函數y=f（x）與y=|x|的圖象在x∈[0，1]上有且只有有一個交點，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一個根，設為x₁．由于函數f（x）是定義在R上的偶函數，所以f（-x₁）=f（x₁）=|-x₁|，即-x₁也是方程f（x）=|x|的一個根，這就是說：方程f（x）=|x|在x∈[-1，1]上有且只有兩個根x₁，-x₁．同理，方程f（x）=|x|分別在x∈[1，2]、[2，3]上各有一個根，設為x₂，x₃；易知，方程f（x）=|x|分別在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一個根，且為-x₂，-x₃．在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|無根．綜上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6個根．因此④不正確．
解答：①∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，∴==；
又∵對于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，
∴f（）=f（6+）=f（）=f（2-）=f（）=f（）==＞f（）．
故可知①正確．
②當x∈[-1，0]時，則-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）³-4（-x）+3=-x³+4x+3≠x³+4x+3．
故可知②不正確．
③因為f^′（x）=3x²-4，所以當x∈[0，1]時，恒有f^′（x）＜0成立，故f（x）在x∈[0，1]時單調遞減．
又因為f（0）=3，f（1）=0，所以f（x）=0在x∈[0，1]時有且只有一個根1；同理f（x）=0在x∈[-1，0]上有且只有一個根-1．
又因為對于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（-1）=f（1）=f（3）=f（5）=…；
故f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標為：1，3，5，…．是由小到大構成一個無窮等差數列{2n-1}．
故③正確．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]時單調遞減，且0≤f（x）≤3，
則函數y=f（x）與y=|x|的圖象在x∈[0，1]上有且只有有一個交點，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一個根，設為x₁．
由于函數f（x）是定義在R上的偶函數，所以f（-x₁）=f（x₁）=|-x₁|，即-x₁也是方程f（x）=|x|的一個根．
同理，方程f（x）=|x|分別在x∈[1，2]、[2，3]上各有一個根，設為x₂，x₃；易知，方程f（x）=|x|分別在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一個根，且為-x₂，-x₃．
在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|無根．
綜上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6個根．因此④不正確．
綜上可知①、③正確．
點評：此題綜合考查了函數的單調性、奇偶性、周期性及方程的根，等差數列等知識；還考查了數形結合的思想方法．