Question

已知x+2y=1，x∈R⁺，y∈R⁺，則x²y的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：由x+2y=1，可得x=1-2y，結合x＞0，y＞0可得，而x²y=（1-2y）²y=，利用基本不等式可求函數的最大值
法二：由x+2y=1，可得x=1-2y，解x＞0，y＞0可得，而x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y，構造函數f（y）=4y³-4y²+y（），利用導數判斷函數的單調性，進而可求函數的最大值
解答：解：法一：由x+2y=1，可得x=1-2y
∵x＞0，y＞0
∴
∴
∴x²y=（1-2y）²y=
=
當且僅當1-2y=4y即y=，x=時取等號
則x²y的最大值為
故答案為
法二：由x+2y=1，可得x=1-2y
∴x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y
∵x＞0，y＞0
∴
∴
令f（y）=4y³-4y²+y（），則f′（y）=12y²-8y+1
∵
令f′（y）＜0恒可得
令f′（y）≥0可得
∴函數f（y）=4y³-4y²+y在（，）單調遞減，在（0，]上單調遞增
∴當y=時取得最大值
故答案為
點評：本題主要考查了函數的最大值的求解，法一中主要利用了基本不等式abc，法二是解答一般函數求解最值的常用方法