Question

如圖，已知拋物線y²=4x的焦點為F．過點P（2，0）的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）記直線MN的斜率為k₁，直線AB的斜率為k₂．證明：

k1

k2

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，設直線AB的方程為x=my+2，與拋物線方程聯立消x得關于y的一元二次方程，根據韋達定理即可求得y₁y₂；
（Ⅱ）設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），設直線AM的方程為x=ny+1，將其代入y²=4x，消去x，得到關于y的一元二次方程，從而得y₁y₃=-4，同理可得 y₂y₄=-4，根據斜率公式可把

k1

k2

表示成關于y₁與y₂的表達式，再借助（Ⅰ）的結果即可證明．

解答：（Ⅰ）解：依題意，設直線AB的方程為x=my+2．             
將其代入y²=4x，消去x，整理得 y²-4my-8=0．
從而y₁y₂=-8．                                
（Ⅱ）證明：設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．
則 

k1

k2

=

y3-y4

x3-x4

×

x1-x2

y1-y2

=

y3-y4

y32 4 - y42 4

×

y12 4 - y22 4

y1-y2

=

y1+y2

y3+y4

． 
設直線AM的方程為x=ny+1，將其代入y²=4x，消去x，
整理得y²-4ny-4=0．           
所以y₁y₃=-4．       
同理可得 y₂y₄=-4．          
故

k1

k2

=

y1+y2

y3+y4

=

y1+y2

-4 y1 + -4 y2

=

y1y2

-4

． 
由（Ⅰ）得

k1

k2

=2，為定值．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及拋物線的簡單性質，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，難度較大．