Question

（2013•臨沂二模）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=

1

2

，g（x）=x（f（x）+1），（x＞1）且g（x）在區(qū)間（k，k+1）內(nèi)存在極值，求整數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（I）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）當a=

1

2

時，g（x）=x（f（x）+1）=x（lnx-

1

2

x+1）=xlnx+x-

1

2

x²，（x＞1），令F（x）=g′（x）=lnx-x+2，利用導數(shù)可得F（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，再利用零點存在定理得出F（x）即g′（x）在（3，4）內(nèi)有零點，從而g′（x）在（3，4）內(nèi)存在極值，結(jié)合已知條件求出整數(shù)k的值．

解答：解：（Ⅰ）∵x＞0，所以當a≤0時，f′（x）=

1

x

-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)…（4分）
當a＞0時，f（x）在（0，

1

a

）上f′（x）=

1

x

-a＞0，f（x）在（

1

a

，+∞）上f′（x）=

1

x

-a＜0，
故f（x）在（0，

1

a

）上是增函數(shù)，f（x）在（

1

a

，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）當a=

1

2

時，g（x）=x（f（x）+1）=x（lnx-

1

2

x+1）=xlnx+x-

1

2

x²，（x＞1）
∴g′（x）=lnx-x+2…（6分）
令F（x）=g′（x）=lnx-x+2，
則f′（X）=

1

x

-1＜0，∴F（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．…（8分）
∵F（1）=1＞0．F（2）=ln2＞0，F(xiàn)（3）=g′（3）=ln3-3+2=ln3-1＞0．
F（4）=g′（4）=ln4-4+2=ln4-2＜0，（9分）
∴F（x）即g′（x）在（3，4）內(nèi)有零點，即g′（x）在（3，4）內(nèi)存在極值．…（11分）
又∵g（x）在（k，k+1）上存在極值，且k∈Z，
∴k=3．…（12分）

點評：本題主要考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會熟練運用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應該先求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．