Question

已知曲線y=lnx在點P（1，0）處的切線為l，直線l′過點P且垂直于直線l，則直線l′與兩坐標軸圍成的三角形的面積是（　�。�

• A、4
• B、2
• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：求出曲線方程的導函數，把切點P的橫坐標代入求出導函數值為切線l的斜率，然后由直線l的斜率求出直線l′的斜率，由點P的坐標和求出的斜率寫出直線l′的方程，分別令x=0與y=0求出直線和兩坐標軸的截距，利用三角形的面積公式即可求出直線l′與兩坐標軸圍成的三角形的面積．

解答：解：求導得：y′=

1

x

，把x=1代入導函數得：y′_|x=1=1，
∴切線l的斜率k=1，故直線l′的斜率為-1，又P（1，0），
∴直線l′的方程為y=-1（x-1），即x+y-1=0，
令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=1，
則直線l′與兩坐標軸圍成的三角形的面積S=

1

2

×1×1=

1

2

．
故選D

點評：此題考查了兩直線垂直時斜率滿足的關系，利用導數研究曲線上某點的切線方程．要求學生理解切點的橫坐標代入導函數得到的導函數值為切線方程的斜率，同時掌握兩直線垂直時斜率的乘積為-1．