Question

.已知雙曲線G的中心在原點,它的漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切.過點P(－4,0)作斜率為的直線,使得和G交于A,B兩點,和y軸交于點C,并且點P在線段AB上,又滿足|PA|·|PB|＝|PC|2.   
(1)求雙曲線G的漸近線的方程；  
(2)求雙曲線G的方程；
(3)橢圓S的中心在原點,它的短軸是G的實軸.如果S中垂直于的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分AB,若P（x,y）（y>0）為橢圓上一點,求當的面積最大時點P的坐標.

Answer 1

解：(1)設雙曲線G的漸近線的方程為y＝kx,
則由漸近線與圓x²＋y²－10x＋20＝0相切可得
所以k＝±,即雙曲線G的漸近線的方程為y＝±x.  …………………    3分
(2)由(1)可設雙曲線G的方程為x²－4y²＝m,
把直線的方程y＝ (x＋4)代入雙曲線方程,
整理得3x2－8x－16－4m＝0,
則xA＋xB＝,xAxB＝－.(*)
∵|PA|·|PB|＝|PC|2,P、A、B、C共線且P在線段AB上,
∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2,即(xB＋4)(－4－xA)＝16,
整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.將(*)代入上式得m＝28,
∴雙曲線的方程為                …………………    7分
(3)由題可設橢圓S的方程為 (a>2),
設垂直于的平行弦的兩端點分別為M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點為P(x0,y0),

易得切線m的方程為,解得切點坐標,
則P點的坐標為  ………………… 14分

略