Question

已知圓的方程為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線，切點為．
（1）若，試求點的坐標；
（2）求證：經過三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標；
（3）求弦長的最小值．

Answer 1

（1）或；（2）見解析；（3）.

（1）根據，求得；（2）求出圓的方程，此式是關于的恒等式，列條件；（3）表示出弦長，求最值。
解：（1）設，由題可知，所以，解之得：故所求點的坐標為或．　                     ．．．．．．．．4分     
（2）設，的中點，因為是圓的切線
所以經過三點的圓是以為圓心，以為半徑的圓，
故其方程為：              ．．．．．．．．6分
化簡得：，此式是關于的恒等式，
故解得或                          
所以經過三點的圓必過定點或.                 ．．．．．．．．10分
（3）設，且與交于點，則
  當時，最小值為．．．16分
（幾何方法酌情給分）