Question

17、已知函數f（x）=2^x+2^-x
（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性； 
（Ⅱ）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（I）利用函數的奇偶性的定義判斷即可．
（II）求出函數的導數，通過導數值的符號，說明函數在（0，+∞）的是增函數還是減函數．

解答：解：（I）因為函數f（x）=2^x+2^-x
易得其定義域為R，且f（-x）=2^-x+2^x=f（x），所以函數是偶函數；
（II）函數f（x）=2^x+2^-x．
∵求導得：f′（x）=2^xln2-2^-xn2=ln2（2^x-2^-x），
當 x≥0時，x≥-x，2^x-2^-x≥0則ln2（2^x-2^-x）≥0，
所以函數在（0，+∞）的是增函數．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷，指數函數的單調性與特殊點，導數的應用，考查計算能力，是基礎題．