Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosC，sinC），且

m

•

n

=sin2B．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面積是

3 3

4

，且a+c=5，求b．

Answer 1

分析：（1）由數量積的坐標公式，結合兩角和的正弦公式和二倍角正弦公式列式并化簡，得sin（A+C）=2sinBcosB，再由sin（A+C）=sinB在等式兩邊約去sinB可得cosB=

1

2

，結合三角形內角取值范圍，可得角B的大小；
（2）根據正弦定理的面積公式，結合題中的數據算出ac=3，再配方得到a²+c²=19，最后利用余弦定理算出b²的值，即可得邊b的值．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=sinAcosC+cosAsinC=sin2B，且sin2B=2sinBcosB
∴sin（A+C）=2sinBcosB，即sin（π-B）=2sinBcosB，
∵sin（π-B）=sinB，且sinB是正數，∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

（2）由正弦定理，得S_△ABC=

1

2

acsinB=

3 3

4

∵B=

π

3

，得sinB=

3

2

，∴ac=3
又∵a+c=5，∴a²+c²=（a+c）²-2ac=25-6=19
根據余弦定理，得：
b²=a²+c²-2accosB=19-2×3×

1

2

=16
∴b=4（舍負）

點評：本題以平面向量的數量運算為載體，考查了用正余弦定理解三角形、兩角和的正弦公式和二倍角的正弦公式等知識，屬于中檔題．