Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）-a+2（其中a為常數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為3，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值時x取值的集合．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）對于函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）-a+2，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得它的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)x∈[0，

π

2

]時，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大值．
（3）當(dāng)f（x）取最大值時，應(yīng)有2x-

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈z，由此求得此時x取值的集合．

解答： 解：（1）對于函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）-a+2，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z
（2）∵x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
故函數(shù)f（x）的最大值為2-a+2=4-a=3，∴a=1．
（3）求出使f（x）取最大值時，有 2x-

π

6

=

π

2

+2kπ，求得 x=

π

3

+kπ，k∈z，
故此時x取值的集合為 {x|x=

π

3

+kπ，k∈z }．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的定義域和值域，求三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．