Question

【題目】已知函數（）.

（1）當曲線在點處的切線的斜率大于時，求函數的單調區間；

（2）若 對恒成立，求的取值范圍.（提示：）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析; （2）.

【解析】試題分析：

(1)考查函數的定義域，且 ，由，得.分類討論：

當時，的單調遞增區間為；

當時，的單調遞減區間為.

(2)構造新函數，令 ，，

則 ，，分類討論：

①當時，可得.

②當時， .

綜上所述，.

試題解析：

（1）的定義域為， ，，.

由，得.當時，，的單調遞增區間為；

當時，，的單調遞減區間為.

（2）令 ，，

則 ，，

①當時，，所以在上單調遞減，所以當，，故只需，即，即，所以.

②當時，令，得.

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

所以當時，取得最大值.

故只需，即 ，

化簡得 ，

令，得（）.

令 （），則 ，

令，，

所以在上單調遞增，又，，所以，，所以在上單調遞減，在上遞增，

而， ，所以上恒有，

即當時， .

綜上所述，.