Question

（本小題滿分10分）
選修4—1：幾何證明選講
如圖，AB是⊙O的直徑，C，F為⊙O上的點，CA是∠BAF的角平分線，過點C作
CD⊥AF交AF的延長線于D點，CM⊥AB，垂足為點M.
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）求證：AM·MB=DF·DA.

Answer 1

略

選修4—1：幾何證明選講
解：（I）連結OC，∴∠OAC=∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分線，
∴∠OAC=∠FAC，
   ∴∠FAC=∠ACO，∴OC∥AD.………………3分
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切線.…………5分
（Ⅱ）連結BC，在Rt△ACB中，
CM⊥AB，∴CM²=AM·MB.
   又∵DC是⊙O的切線，∴DC²=DF·DA.
易知△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM·MB=DF·DA…………10分