Question

已知1+2+3+…+n-

1

2

n2+

1

2

n，1²+2²+3²+…+n²=

1

3

n3+

1

2

n2+

1

6

n，1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n4+

1

2

n3+

1

4

n2，1⁴+2⁴+3⁴+…+n⁴=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n…，1^k+2^k+3^k+…+n^k=a_k+1n^k+1+a_kn^k+a_k-1n^k-1+a_k-2n^k-2+…a₁n+a₀．
可以猜想，當k≥2（k∈N^*）時，a_k+1=

1

k+1

，ak=

1

2

，ak-1=

6+

(k-2)(7-k)

2

．

Answer 1

分析：先計算出當k=2時，當k=3時，當k=4時，a _k-1的值，再考查三個數：

1

6

，

1

4

，

1

3

，化成：

1

6

，

2

8

，

3

9

，其分子是自然數的排列，分母是：6，6+2，6+3，…照此進行歸納得：a _k-1=6+

(k-2)(7-k)

2

．

解答：解：當k=2時，a₂₊₁=

1

2+1

，a2=

1

2

，a2-1=

1

6

，
當k=3時，a₃₊₁=

1

3+1

，a3=

1

2

，a3-1=

1

4

，
當k=4時，a₄₊₁=

1

4+1

，a4=

1

2

，a4-1=

1

3

，
考察三個數：

1

6

，

1

4

，

1

3

，化成：

1

6

，

2

8

，

3

9

，
其分子是自然數的排列，分母是：6，6+2，6+3，…
照此進行歸納得：a _k-1=6+

(k-2)(7-k)

2

．
故答案為：6+

(k-2)(7-k)

2

．

點評：本小題主要考查歸納推理、數列的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．