Question

如圖某一幾何體的展開圖，其中ABCD是邊長為6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，點S、D、A、Q及P、D、C、R共線．
（1）沿圖中虛線將它們折疊起來，使

PA

=a、Q、R、S四點重合為點P，請畫出其直觀圖；
（2）求二面角P-AB-D的大小；
（3）試問需要幾個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁？

Answer 1

分析：（1）根據展開圖圖中線線位置關系、數量關系，轉化到空間幾何體中線線位置關系、數量關系，結合空間想象能力，畫出直觀圖．
（2）在直觀圖中，易證∠PAD為二面角P-AB-D的平面角，解直角三角形PAD可求出∠PAD的大小．
（3）根據體積的倍數關系，確定個數，轉化為體積計算．

解答：解：（1）它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐
（2）由（1）得，PD⊥AD，PD⊥CD，得PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AB，而AB⊥AD，PD∩AD=D
∴AB⊥平面PAD…（6分）
∴AB⊥AD，AB⊥PA
∴∠PAD為二面角P-AB-D的平面角
又在Rt△PDA中，PD=AD，故∠PAD=

π

4

∴二面角P-AB-D的平面角為

π

4

（3）由題意，PD⊥平面ABCD，
則VP-ABCD=

1

3

×6×6×6=72，VABCD-A1B1C1D1=6×6×6=216，
∴需要3個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁

點評：本題主要考查空間角的計算，線線，線面位置關系，體積，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．