Question

已知函數(shù)f(x)＝x³－2x²＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．
(1)求a的值和切線l的方程；
(2)設(shè)曲線y＝f(x)上任一點處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍

Answer 1

(1)由題設(shè)知k_l＝－1，所以方程f′(x)＝x²－4x＋a＝－1有兩個等根，即Δ＝16－4(a＋1)＝0.解得a＝3.
此時，由方程x²－4x＋4＝0，結(jié)合已知解得切點為.
所以切線l的方程為y－＝－(x－2)，即3x＋3y－8＝0.
(2)設(shè)曲線y＝f(x)上任一點(x，y)處的切線的斜率為k(由題意知k存在)，則由(1)，
知k＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1≥－1.
由正切函數(shù)的單調(diào)性，知θ的取值范圍為∪.

略