Question

【題目】設函數.

（1）當時，函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的范圍；

（2）討論的單調性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，函數在上單調遞減，當時，函數在上遞減，在上遞增，在上遞減，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.

【解析】

試題分析：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數的極值與零點個數以及分類討論思想的應用；(1)作差，分離參數構造函數，通過導數研究函數的極值，再通過函數的圖象進行求解；(2)求導，確定導函數的兩個零點，討論兩零點的大小進行求解.

試題解析：（1）當時， ，

故，令，

則，

故當時，；當時，；當時，；，，故.

（2）因為，所以.

當時，恒成立，故函數在上單調遞減；

當時，時，，時，，當時，，

故函數在上遞減，在上遞增，在上遞減；當時，時，，時，，當時，；

故函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上，當時，函數在上單調遞減，當時，函數在上遞減，在上遞增，在上遞減；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.