Question

（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；
（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；
（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪栟成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明．

Answer 1

分析：（1）可以利用正三角形的圖形特征，進行分割．
（2）可以直接求解，直接比較大小．
（3）分別連接三角形的內心與各頂點，得三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形．以新作的三角形為直棱柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，組合就好了．

解答：解：（1）如圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐．
如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的

1

4

，有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底．


（2）依上面剪拼方法，有V_柱＞V_錐．
推理如下：
設給出正三角形紙片的邊長為2，
那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的正三角形，其面積為

3

4

．
現在計算它們的高：h錐=

1-( 2 3 • 3 2 )2

=

6

3

，h柱=

1

2

tan30°=

3

6

．V柱-V錐=(h柱-

1

3

h錐)•

3

4

=(

3

6

-

6

9

)•

3

4

=

3-2 2

24

＞0
所以V_柱＞V_錐．

（3）如圖，分別連接三角形的內心與各頂點，得三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形．以新作的三角形為直棱柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．

點評：本題考查學生的空間想象能力，棱錐、棱柱的結構特征，是中檔題．