Question

（1）已知函數f(x)=x－ax+(a－1)，。討論函數的單調性；       

（2）.已知函數f (x)=lnx，g(x)=e^x．設直線l為函數 y＝f (x) 的圖象上一點A(x₀，f (x₀))處的切線．問在區間(1，+∞)上是否存在x₀，使得直線l與曲線y=g(x)也相切．若存在，這樣的x₀有幾個？，若沒有，則說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，遞增

    當時，在（0，1），遞增 在（1，a-1）遞減

當時，在（0，a-1）遞增，遞增，在（a-1，1）遞減

（2）在區間（1）一定存在唯一的，使直線l與曲線也相切.

【解析】第一問中，利用f(x)=x－ax+(a－1)，求解導數，然后對于參數a分情況討論可知函數的單調性。

第二問中，利用導數的幾何意義，  切線l的方程為：

設切線l與曲線相切于

   切線l的方程又為

因為與的圖象   在（1，）

有且只有一個交點

在區間（1）一定存在唯一的，使直線l與曲線也相切

 

解：（1）當時，遞增

    當時，在（0，1），遞增 在（1，a-1）遞減

當時，在（0，a-1）遞增，遞增，在（a-1，1）遞減………7分

（2）  切線l的方程為：

設切線l與曲線相切于

   切線l的方程又為

………7分

與的圖象   在（1，）

有且只有一個交點

在區間（1）一定存在唯一的，使直線l與曲線也相切…………………15分