Question

在△ABC中，D為邊BC上的一點，BD=

1

2

DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面積為3-

3

，則∠BAC=（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．45°或60°

Answer 1

分析：由△ADC的面積為3-

3

，利用正弦定理的面積公式算出DC=2（

3

-1），結合BD=

1

2

DC算出BD=

3

-1且BC=3（

3

-1）．△ABD中和△ACD中，根據余弦定理算出AB=

6

，AC=

6

（

3

-1），最后在△ABC中，根據余弦定理算出cos∠BAC=

1

2

，即可得到∠BAC的大小．

解答：解：∵∠ADC=180°-120°=60°，AD=2
∴△ADC的面積S=

1

2

AD•DCsin60°=3-

3

，
即

1

2

×2×DC×

3

2

=3-

3

，解之得DC=2（

3

-1）
∵BD=

1

2

DC，∴BD=

3

-1，BC=3（

3

-1）
△ABD中，根據余弦定理得：
AB=

AD2+BD2-2AD•BDcos120°

=

6

同理，△ACD中得到AC=

6

（

3

-1）
△ABC中，根據余弦定理得cos∠BAC=

6+6( 3 -1)2-(3 3 -3)2

2× 6 × 6 ( 3 -1)

=

1

2

結合∠BAC是三角形的內角，可得∠BAC=60°
故選：C

點評：本題給出三角形ABC滿足的條件，求∠BAC的大小．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．