Question

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁：x²+y²=1，以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）將曲線C₁上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的、2倍后得到曲線C₂，試寫出直線l的直角坐標方程和曲線C₂的參數方程；
（2）在曲線C₂上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接寫出直線l的直角坐標方程，將曲線C₁上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的、2倍后得到曲線C₂的方程，然后寫出曲線C₂的參數方程；
（2）設出曲線C₂上一點P的坐標，利用點P到直線l的距離公式，求出距離表達式，利用三角變換求出最大值．
解答：解：（1）由題意可知：直線l的直角坐標方程為：2x-y-6=0，
因為曲線C₂的直角坐標方程為：．
∴曲線C₂的參數方程為：（θ為參數）．
（2）設P的坐標（），則點P到直線l的距離為：
=，
∴當sin（60°-θ）=-1時，點P（），
此時．
點評：本題是中檔題，考查直線的參數方程，直線與圓錐曲線的位置關系，點到直線的距離的應用，考查計算能力，轉化思想．