Question

（10分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，
（1）求的值；
（2）證明：對(duì)任意，等式都成立.

Answer 1

(1)；（2）證明見解析.

解析試題分析：（1）本題首先考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，如；
（2）要找到式子的規(guī)律，當(dāng)然主要是找式子的規(guī)律，為了達(dá)到此目標(biāo)，我們讓看看有什么特點(diǎn)，由（1），對(duì)這個(gè)式子兩邊求導(dǎo)可得，再求導(dǎo)，由引可歸納出，從上面過程還可看出應(yīng)該用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.
試題解析：（1）由已知，
，
所以，，
故.
（2）由（1）得，
兩邊求導(dǎo)可得，
類似可得，
下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切都成立，
（1）時(shí)命題已經(jīng)成立，
（2）假設(shè)時(shí)，命題成立，即，
對(duì)此式兩邊求導(dǎo)可得，
即，因此時(shí)命題也成立.
綜合（1）（2）等式對(duì)一切都成立.
令，得，
所以.
【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，數(shù)學(xué)歸納法.