Question

已知直線l：ax+y-2

2

=0(a∈R)，圓C：x2+y2=1，若過l上任一點P可作圓的兩條切線，設切點為A、B．
（1）求a的范圍；
（2）若當兩條切線長最短時，他們的夾角是60°，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由過l上任一點P可作圓的兩條切線，說明直線l與圓相離．可知：圓心到直線l的距離d＞r，利用點到直線的距離公式即可得出；
（2）當OP⊥l時，切線長PA=

OP2-1

取得最短．利用（1）和含30°角的直角三角形的半徑關系即可得出．

解答：解：（1）由過l上任一點P可作圓的兩條切線，說明直線l與圓相離．
∴圓心到直線l的距離d＞r，∴

2 2

a2+1

＞1，化為a²＜7，解得-

7

＜a＜

7

．
∴a的取值范圍是(-

7

，

7

)．
（2）當OP⊥l時，切線長PA=

OP2-1

取得最短．
∴

2 2

a2+1

=2，解得a=±1．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式、勾股定理、直角三角形的半徑公式，屬于難題．