Question

已知橢圓經過點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程；
(Ⅲ)在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點？
若存在，請找出；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）不存在滿足題設條件的點B和C.

有關解析幾何的問題，常常涉及曲線的方程，此時往往要注意利用有關曲線的定義來解決，同時還會涉及直線與有關曲線的交點問題，在處理過程中往往需要結合二次方程的根與系數的關系解決
（I）設橢圓E的方程為，

將A（2，3）代入上式，得
∴橢圓E的方程為
（II）解法1：由（I）知，所以直線AF1的方程為：直線AF2的方程為：由點A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數.設上任一點，則
若（因其斜率為負，舍去）.
所以直線l的方程為：
解法2：

（III）解法1：
假設存在這樣的兩個不同的點

由于M在l上，故       ①
又B，C在橢圓上，所以有兩式相減，得
即將該式寫為，并將直線BC的斜率和線段BC的中點，表示代入該表達式中，得    ②
①×2—②得，即BC的中點為點A，而這是不可能的.
∴不存在滿足題設條件的點B和C.
解法2：假設存在，則
得一元二次方程則是該方程的兩個根，由韋達定理得于是∴B，C的中點坐標為又線段BC的中點在直線
即B，C的中點坐標為（2，3），與點A重合，矛盾.∴不存在滿足題設條件的相異兩點.