Question

某商品在30天內的銷售價格p（單位：元）與時間t（單位：天）的函數關系式為p（t）=

t+20，t∈(0，25)，t∈N -t+100，t∈[25，30]，t∈N

．該商品的日銷售量q（單位：件）與時間t（單位：天）的函數關系式q（t）=-t+40（t∈（0，30]，t∈N），求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是這30天中的第幾天？

Answer 1

分析：由已知中銷售價格p（單位：元）與時間t（單位：天）的函數關系式和商品的日銷售量q（單位：件）與時間t（單位：天）的函數關系式，可得日銷售金額為f（t）與時間t（單位：天）的函數關系式，結合二次函數的圖象和性質及分段函數最值的求法，可得答案．

解答：解：設日銷售金額為f（t）
則f(t)=p(t)q(t)=

(t+20)(-t+40)，t∈(0，25)，t∈N (-t+100)(-t+40)，t∈[25，30]，t∈N

即f(t)=

-t2+20t+800，t∈(0，25)，t∈N t2-140t+4000，t∈[25，30]，t∈N

…（4分）
當t∈（0，25），f（t）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900
此時f（t）≤f（10）=900…（8分）
當t∈[25，30]時，f（t）=t²-140t+4000=（t-70）²-900
此時f（t）≤f（25）=1125…（12分）
故f_max=f（25）=1125…（14分）
答：在第25天銷售額最大，為1125元．…（15分）

點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，理解分段函數的能力．