Question

（本小題滿分14分）已知橢圓：（）的上頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為．若有一菱形的頂點、在橢圓上，該菱形對角線所在直線的斜率為．

⑴求橢圓的方程；

⑵當直線過點時，求直線的方程；

⑶（本問只作參考，不計入總分）當時，求菱形面積的最大值．

Answer 1

解：⑴依題意，……1分，解……2分，得……3分，所以，……4分，橢圓的方程為……5分。

⑵直線：……7分，設：……8分，由方程組得……9分，當時……10分，、的中點坐標為，……12分，是菱形，所以的中點在上，所以……13分，解得，滿足，所以的方程為……14分。

⑶（本小問不計入總分，僅供部分有余力的學生發揮和教學拓廣之用）因為四邊形為菱形，且，所以，所以菱形的面積，由⑵可得

，因為，所以當且僅當時，菱形的面積取得最大值，最大值為。