Question

（本小題滿分14分）已知數(shù)列{a_n}中，（t>0且t≠1）．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．

（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記，當(dāng)t=2時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n>2008的n的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)t=2時(shí)，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有 。

 

Answer 1

【答案】

解：分析：利用是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)求出與的關(guān)系式，從而加以證明第（1）問，而第（2）問的解決關(guān)鍵在于運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出n的最小值。第（3）問中先將拆項(xiàng)并求和，通過觀察與分析得出指數(shù)函數(shù)g（x）的表達(dá)式。

（Ⅰ）．由題意，即

，∴，

∵且，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列，

以上各式兩邊分別相加得，∴，

當(dāng)時(shí)，上式也成立，∴

   （Ⅱ）當(dāng)t=2時(shí)，

由，得，，

當(dāng)，

因此n的最小值為1005．

（Ⅲ）∵

  

【解析】略