Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知O為AC與BD的交點，M為DD₁的中點．
（1）求證：B₁O⊥AM；
（2）設正方體棱長為1，若 T是D₁D或其延長線上一點，求使B₁T⊥平面MAC時DT的長．

Answer 1

解：（1）證明：∵BB₁⊥平面ABCD，OB⊥AC，
∴B₁O⊥AC．設棱長為2
連接MO、MB₁，則MO=，B₁O=，MB₁=3．
∵MO²+B₁O²=MB₁²，∴∠MOB₁=90°．
∴B₁O⊥MO．
∵MO∩AC=O，∴B₁O⊥平面MAC．
∴B₁O⊥AM；
（2）以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系
A（1，0，0），C（0，1，0），M（0，0，），B₁（1，1，1）
設點T（0，0，t），則
而，
∵使B₁T⊥平面MAC
∴解得t=-1
∴DT=1時使B₁T⊥平面MAC
分析：（1）先證B₁O⊥MAC，證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．有時候題目中沒有現成的直線與直線垂直，需要我們先通過直線與平面垂直去轉化一下，如欲證B₁O⊥AC，可以先證明AC⊥平面BB₁O，從而B₁O⊥AM；
（2）以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系，根據使B₁T⊥平面MAC，建立等式關系，解之即可．
點評：證明直線與直線垂直常用的方法有勾股定理、通過直線與平面垂直轉化，以及利用空間向量解立體幾何等有關知識，屬于中檔題．