Question

19、一次國際乒乓球比賽中，甲、乙兩位選手在決賽中相遇，根據以往經驗，單局比賽甲選手勝乙選手的概率為0.6，本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的選手獲勝，比賽結束．設全局比賽相互間沒有影響，令ξ為本場比賽甲選手勝乙選手的局數（不計甲負乙的局數），求ξ的概率分布和數學期望（精確到0.0001）．

Answer 1

分析：甲選手勝乙選手的局數作為隨機變量ξ，它的可能取值是0、1、2、3四個值，結合變量對應的事件，寫出概率，特別是當ξ=3時，本場比賽共三局、或四局、或五局．其中共賽三局時，甲連勝這三局；共賽四局時，第四局甲勝，且前三局中甲勝兩局；共賽五局時，第五局甲勝，且前四局中甲勝兩局；寫出分布列和期望．

解答：解：甲選手勝乙選手的局數作為隨機變量ξ，它的取值共有0、1、2、3四個值．
①當ξ=0時，本場比賽共三局，甲選手連負三局，
P（ξ=0）=（1-0.6）³=0.064；
②當ξ=1時，本場比賽共四局，甲選手負第四局，且前三局中，甲勝一局，
P（ξ=1）=C₃¹0.6³×（1-0.6）³=0.1152；
③當ξ=2時，本場比賽共五局，甲選手負第五局，且前四局中，甲勝二局，
P（ξ=2）=C₄²0.6²×（1-0.6）³=0.13824；
④當ξ=3時，本場比賽共三局、或四局、或五局．其中共賽三局時，甲連勝這三局；
共賽四局時，第四局甲勝，且前三局中甲勝兩局；共賽五局時，第五局甲勝，且前四局中甲勝兩局；
P（ξ=3）=0.6³+C₃²0.6³×（1-0.6）+C₄²0.6³×（1-0.6）²=0.68256
∴ξ的概率分布列為：

∴Eξ=0×0.064+1×0.1152+2×0.13824+3×0.68256=2.43926≈2.4394．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查n次獨立重復試驗恰好發生k次的概率，是一個綜合題目，注意解題的格式，這種題目不能丟分．