Question

(本小題滿分14分)

設a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內的單調性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在內是減函數，在內是增函數，所以，在處取得極小值．

（Ⅱ）當x>1時，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

【解析】解：根據求導法則有，

故，

于是，

列表如下：

		2
		0
		極小值

故知在內是減函數，在內是增函數，所以，在處取得極小值．

（Ⅱ）證明：由知，的極小值．

于是由上表知，對一切，恒有．

從而當時，恒有，故在內單調增加．

所以當時，，即．

故當時，恒有．